Вещественные и комплексные числа Последовательности Предел функции Непрерывные функции Дифференциальное исчисление Формула Тейлора Элементы теории кривых Исследования характера поведения функций

Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.

Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aÎE


Обозначим [a1,b1] правый из отрезков , имеющий непустое пересечение с E. Отметим свойства этого отрезка;

"xÎE: x £ b1 Раскрытие неопределенностей

EÇ[a1,b1] ¹ Æ

Эту процедуру повторим для [a1,b1], и т. д.

В результате получим последовательность вложенных отрезков [ak,bk], удовлетворяющих свойствам: Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Предел последовательности Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…)

"xÎE: x £ bk

EÇ[ak,bk] ¹ Æ

Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [ak,bk] с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой

 . Через [ak+1,bk+1] обозначим правый из отрезков , имеющий непустое пересечение с E. Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2).

Длины этих отрезков bk - ak=(b - a)/2k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:

1) "xÎE: x £ c Математика решение задач Вычислить производную

Предположим противное: $ xÎE:x>c, возьмем e = x - c,$n:bn - an<e=x - c, тогда bn - c £ bn - an < x - c Þ bn < x, что противоречит условию xÎ[an,bn].

2) "e>0 $xÎE: x > c - e

Для любого e $n: bn - an < e. Выберем какое либо xÎ[an,bn] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того c - x £ bn - an < e. Таким образом, найдено требуемое x.

Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.

Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.

Доказательство: Пусть имеются две точных грани b2 , b1, b1< b2 . Положим e = b2 - b1 > 0, по определению точной верхней грани (для b2) $ xÎE: x > b2 - e = b1, что противоречит тому, что b1 верхняя грань.

Замечание.

  1. Точная нижняя грань единственна.

  2. Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥.

 

 

 

 

Элементы теории множеств Множество относится к числу первичных, неопределяемых понятий математики. Под словом «множество» обычно понимается совокупность тех или иных объектов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством. Примеры. Множество товаров и услуг, бюджетное множество, множество производственных возможностей, множество ресурсов производства, множество действительных чисел, множество точек прямой, множество точек на плоскости, множество векторов, множество функций, множество функций одной переменной, множество корней квадратного уравнения, множество точек пространства и т. д.

Лекции, конспекты, курсовые, примеры решения задач