Векторный анализ. Поверхностные интегралы Скалярное поле и его характеристики Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Теория поля. Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Работа силового поля. Поток поля через поверхность. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Формула Стокса. Ротор векторного поля. Оператор Гамильтона.

Скалярное поле и его характеристики.

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Если М DR2, то поле наз. плоским, если МR3 - пространственным. Поле наз. стационарным, если U(M) не зависит от времени. Точки поля с одинаковыми значениями функции образуют линии уровня на плоскости U(x,y) = C и поверхности уровня в пространстве U(x,y,z) = C 

С.п. можно представить как «слоистую» структуру, где значения поля постоянны в одном слое и меняются при переходе к соседнему слою. Различаются с.п. геометрической формой этих слоев и скоростью изменения значения при переходе от слоя к слою.

Пр. Температура неравномерно нагретого тела. Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть T = а(x2 + y2 – z) , тогда поверхности уровня x2+y2 = z + C образуют семейство параболоидов вращения вокруг Oz. С ростом температуры чаша поднимается вдоль Oz. Тепло от каждого параболического слоя будет передаваться перпендикулярно к его поверхности.

Производная по направлению с.п.

Имеем с.п. функции U(x,y,z) и выделенную в пространстве точку M(x,y,z), через которую проходит прямая L в направлении, заданном единичным вектором

= {cos , cos , cos}. Определим, как будет меняться значение с.п. при перемещении вдоль L от M к произвольной точке M1.

Опр. Производной с.п. U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению  наз. предел отношения приращения функции к пройденному пути по направлению

lim [U(M1) – U(M_] / |MM1| =  при M M1 ( 20 )

Теорема. Если функция с.п. U(x,y,z) дифференцируема в некоторой области  и

= {cos , cos , cos}, то 

  =  cos  + cos  +  cos ( 21 )

Док-во. Отрезок |MM1| =  есть диагональ прямоугольного параллепипеда со сторонами  x, y, z. Он равен = . Координаты точки М1 можно записать в виде M1(x+x, y+y, z+z) = M1(x + cos , y + cos , z + cos).

По определению приращение дифференцируемой функции нескольких переменных можно представить в виде

+=+,

где lim  = 0 при 0. Перейдем к этому пределу в ( 20 ) U/l = lim

и получим формулу ( 21 ).

Пр. Вычислить производную с.п. U(M) = x2y – x z3 + 1 в точке М(1;-2;1) в направлении  = 2i – 4j + k .

*U/x|M = (2xy – z3)|M = - 5 , U/y|M = x2|M = 1 , U/z|M = -3xz2|M = -3,

|| = *U/ = -5 2/ + 1 (-4)/  -3 1/ = -17/

Ответ: В окрестности точки М в направлении вектора  функция U(M) изменяется в 17/ раз быстрее, чем аргумент, и при этом уменьшается.

Классы интегрируемых функций (три теоремы без док.)

Классы интегрируемых функций.

Теорема №1

Если   определена на [a,в] и непрерывна, то   интегрируема [a,в].

Теорема №2

Если функция  монотонна и ограничена на [a,в], то  интегрируема на [a,в].

Теорема №3

Если ограниченная функция  на [a,в] имеет конечное число точек разрыва, то  интегрируема на [a,в].

Градиент скалярного поля. Структура выражения ( 21 ) совпадает со структурой скалярного произведения двух векторов  и  :  = axbx + ayby + azbz , если величины *U/x, *U/y, *U/z понимать как координаты некоторого вектора.

Общие геометрические характеристики векторных полей. Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с (M).

Если поток жидкости проходит через замкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Ротор (вихрь) векторного поля. Опр. Циркуляцией векторного поля. (M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль криво.

Простейшие векторные поля. а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div = 0 .

Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.

Криволинейный интеграл 2 рода. Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки.

Приложения криволинейных интегралов 2-ого рода. Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 ).

Формула Грина. Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ( 18 ) Покажем, что интеграл ( 8 ) можно свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L.

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Двойной и тройной интегралы, их свойства. Сведение кратного интеграла к повторному. Понятие n-кратного интеграла. Замена переменных в кратных интегралах. Криволинейные интегралы. Их свойства и вычисление. Поверхностные интегралы. Их свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.
Интегрирование функций нескольких переменных