Векторный анализ. Поверхностные интегралы Скалярное поле и его характеристики Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

Предел монотонной функции.

Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E  R

Если для любых x1, x2  E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).

Если для любых x1, x2  E при x1<x2 выполняется f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая).

Определение 12 (ограниченная функция). Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если

 M(m) R  x X  f(x) M (f(x) m).

Определение 13 . Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е. Установим теперь правило для вычисления    такого интеграла. Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

 M, m R  x X  m f(x) M .

Определение 14 (точные верхняя и нижняя грани). Число M (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие условия

 x X  f(x) M (f(x) m);

 >0  x0 X: f(x0)>M- (f(x)<m+) (см. рис. 16).

Предположим, что числа (или символы ) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место

Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E R имела предел при x s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

Сравнение функций.

Определение 15 (символ О). Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, >0, такие, что |f(x)| c |g(x)| при |x-a|<, x a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x a.

Данное определение переносится и на случай, когда x, x.

Пример 12.

Так как |1/x2|  |1/x| при |x|  1, то 1/x2 = O(1/x) при x ;

1/x = O(1/x2) при x 0 так как |1/x| 1/x2 при |x| 1.

Запись f=O(1) при x a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Определение 16 (функции одного порядка). Если f=O(g) и g=O(f) при x a  f и g — одного порядка при x a.

Пример 13. Функции f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x  0 являются бесконечно малыми одного порядка при x a , так как

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x|  3  f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x|  1  g=O(f).

Определение 17 (эквивалентные функции). Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x a, если (x): f(x) =  (x)g(x), где limx a (x) = 1.

Иначе говоря функции эквивалентны при x a, если предел их отношения при x a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:

sin x ~ x, x  0

(1)

tg x ~ x, x  0, arcsin x ~ x, x  0, arctg x~ x, x  0

ex-1~ x, x 0

ln (1+x)~ x, x 0

(2)

m-1~ mx, x 0

(3)

Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (док.).

Определение: Определитель Вронского (или вронскиан) функций y1,y2,…,yn – это определитель вида:

(где y1, y2, yn - ФСР C1 ,C2 ,…,Cn - const)

Определителем этой системой является определитель Вронского

Теорема: (Необходимое условие линейной зависимости функции, но не являются достаточным)

 Если функции y1, y2, … ,yn - линейно зависимы и имеют производные до (n-1) порядка, то их определитель Вронского тождественно равен 0.

Док-во:

Так как y1, y2, … , yn - линейно зависимы, то существуют числа α1, α2, …, αn (то есть все равные нулю одновременно) такие что α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0 на x(a,b)

Продифференцируем равенство (n-1) раз и получим линейную однородную систему уравнений:

 α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0

 α1y1’ + α2y2’ + …+ αnyn’ = 0

 α1y1’’ + α2y2’’ + …+ αnyn’’ = 0 =>

  ……………………………..

 α1y1(n-1) + α2y2(n-1) + …+ αnyn(n-1) = 0

Система имеет нетривиальное решение любых Х из (а,b), определитель этой системы – определитель Вронского.

W[y1, y2, … ,yn ] = 0 для любых Х из [а,b]

42. Теорема о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ(без док.).

Если n решений y1, y2, … ,yn ЛОДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y = 0 линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х| для любого Х из (а,b) .

Следствие:

Определитель Вронского системы решений [y1, y2, … ,yn ] не равен 0 если система линейно независима, либо 0, если система линейно-зависима.

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов. Теорема 7. Пусть f(x)~ f1(x), g(x)~ g1(x) при x a Тогда если существует предел limx af1(x)/g1(x),

Непрерывные функции Непрерывность функции в точке.

Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке. Записав отрицание определения непрерывной функции, получим определение точки разрыва: Определение 25 (точки разрыва). a - точка разрыва f, если >0 ()>0  x E : |x-a|< |f(x)-f(a)|>.

Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций. Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).

Ряды.Числовые  ряды.

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. 1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов (а) и (b) выполняется неравенство  0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда  (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).

Знакопеременные числовые ряды. Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.

Радиус  сходимости. Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится.

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ;

Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов. Ряды Фурье. Ряды Фурье по ортогональным системам. Минимальное свойство частных сумм рядов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость системы. Тригонометрические ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Формула обращения. Свойства преобразования Фурье.
Интегрирование функций нескольких переменных