Предел монотонной функции.
Определение 11 (монотонная функция). Пусть f:E R
Если для любых x1, x2 E при x1<x2 выполняется f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)), то функция f(x) возрастающая (убывающая).
Если для любых x1, x2 E при x1<x2 выполняется f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)), то функция f(x) неубывающая (невозрастающая).
Определение 12 (ограниченная функция). Функция f(x) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве X, если
M(m) R x X f(x) M (f(x) m).
Определение 13 . Функция f(x) называется ограниченной на множестве X, если она ограничена на нем сверху и снизу, т.е. Установим теперь правило для вычисления такого интеграла. Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.
M, m R x X m f(x) M .
Определение 14 (точные верхняя и нижняя грани). Число M (m) называется точной верхней (точной нижней) гранью функции f(x) на множестве X, если выполнены следующие условия
x X f(x) M (f(x) m);
>0 x0 X: f(x0)>M- (f(x)<m+) (см. рис. 16).
Предположим, что числа (или символы ) i=inf E, s=sup E являются предельными точками множества E (см. определение prepo 1). Имеет место
Теорема 6 (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E R имела предел при x s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.
Сравнение функций.
Определение 15 (символ О). Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, >0, такие, что |f(x)| c |g(x)| при |x-a|<, x a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x a.
Данное определение переносится и на случай, когда x, x.
Пример 12.
Так как |1/x2| |1/x| при |x| 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ;
1/x = O(1/x2) при x 0 так как |1/x| 1/x2 при |x| 1.
Запись f=O(1) при x a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.
Определение 16 (функции одного порядка). Если f=O(g) и g=O(f) при x a f и g — одного порядка при x a.
Пример 13. Функции f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x 0 являются бесконечно малыми одного порядка при x a , так как
f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| 3 f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x| 1 g=O(f).
Определение 17 (эквивалентные функции). Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x a, если (x): f(x) = (x)g(x), где limx a (x) = 1.
Иначе говоря функции эквивалентны при x a, если предел их отношения при x a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:
| sin x ~ x, x 0 |
(1) |
tg x ~ x, x 0, arcsin x ~ x, x 0, arctg x~ x, x 0
ex-1~ x, x 0
| ln (1+x)~ x, x 0 |
(2) |
|
m-1~ mx, x 0 |
(3) |
Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (док.).
Определение: Определитель Вронского (или вронскиан) функций y1,y2,…,yn – это определитель вида:
(где y1, y2, yn - ФСР C1 ,C2 ,…,Cn - const)
Определителем этой системой является определитель Вронского
Теорема: (Необходимое условие линейной зависимости функции, но не являются достаточным)
Если функции y1, y2, … ,yn - линейно зависимы и имеют производные до (n-1) порядка, то их определитель Вронского тождественно равен 0.
Док-во:
Так как y1, y2, … , yn - линейно зависимы, то
существуют числа α1, α2, …, αn (то есть все равные нулю одновременно)
такие что α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0 на x
(a,b)
Продифференцируем равенство (n-1) раз и получим линейную однородную систему уравнений:
α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0
α1y1’ + α2y2’ + …+ αnyn’ = 0
α1y1’’ +
α2y2’’ + …+ αnyn’’ = 0 => 
……………………………..
α1y1(n-1) + α2y2(n-1) + …+ αnyn(n-1) = 0
Система имеет нетривиальное решение любых Х из (а,b), определитель этой системы – определитель Вронского.
W[y1, y2, … ,yn ] = 0 для любых Х из [а,b]
42. Теорема о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ(без док.).
Если n решений y1, y2, … ,yn ЛОДУ у(n) + P1y(n-1) +…+ Pn-1 y’ + Pn y =
0 линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться
в ноль (0) ни в одной точке х
| для любого
Х из (а,b) .
Следствие:
Определитель Вронского системы решений [y1,
y2, … ,yn ] не равен 0 если система линейно независима, либо 
0, если
система линейно-зависима.
Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов. Теорема 7. Пусть f(x)~ f1(x), g(x)~ g1(x) при x a Тогда если существует предел limx af1(x)/g1(x),
Непрерывные функции Непрерывность функции в точке.
Точка a называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция не является непрерывной в данной точке. Записав отрицание определения непрерывной функции, получим определение точки разрыва: Определение 25 (точки разрыва). a - точка разрыва f, если >0 ()>0 x E : |x-a|< |f(x)-f(a)|>.
Перечислим основные глобальные свойства непрерывных функций. Теорема 10 (глобальные свойства непрерывных функций).
Ряды.Числовые ряды.
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов. 1.) Признак
сравнения 1. Пусть для членов рядов 
(а) и 
(b) выполняется неравенство
0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда
(a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b).
Знакопеременные числовые ряды. Опр. Знакопеременным наз. числовой ряд составленный из положительных и отрицательных членов.
Радиус сходимости. Из теоремы Абеля следует, что должно существовать такое граничное значение x =R ниже которого ряд ( 6 ) сходится, а выше расходится.
Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена. Алгоритм разложения: 1) Составляем для функции f(x) ряд Тейлора ;