Векторный анализ. Поверхностные интегралы Скалярное поле и его характеристики Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Числовые и функциональны ряды. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости.

Поверхности второго порядка.

Общий вид уравнения поверхности в R3 :  F(x,y,z) = 0 . Уравнение гладкой поверхности - z = f(x,y) , где каждой точке области определения функции (x, y) отвечает одна точка поверхности с координатой z . Замкнутые поверхности не являются гладкими.

Цилиндрическая поверхность. Её образуют прямые параллельные данному направлению (образующие), которые пересекают некоторую линию L (направляющую).

 

Если образующей служит ось координат, то в уравнении F(x,y,z) = 0 такая координата отсутствует и уравнения F(x,y) = 0, F(x,z) = 0, F(y,z) = 0 в координатных плоскостях определяют направляющие линии. Если линиями  L служат кривые 2 порядка, то имеем цилиндрические поверхности 2 порядка – круговой цилиндр, эллиптический, параболический, гиперболический цилиндры.

F(x,y) = 0 F(x,z) = 0 F(y,z) = 0

Коническая поверхность. Её образуют прямые (образующие), которые проходят через данную точку Р (вершину) и пересекают данную линию L (направляющую).

Конус 2 порядка определяет уравнение 

Исследуем форму поверхности методом параллельных сечений:

Пусть х = 0, тогда ур -ние  приводит к прямым 

Пусть z = h, тогда получаем уравнение эллипса

При а = b получаем круговой конус.

Эллипсоид определяет уравнение 

Сечение 3 плоскостями x = h (|h|<a), y = h (|h|<b), z = h (|h|<c)

приводит к 3 эллипсам с разными полуосями. При a = b = c = R

получаем уравнение сферы x2 + y2 + z2 = R2 с центром в начале координат.

Гиперболоид однополюсной определяет уравнение 

Сечение плоскостью х = 0 дает гиперболу 

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы 

Гиперболоид двухполюсной определяет уравнение

Сечение плоскостью х = 0 дает гиперболу 

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы 

Параболоид эллиптический определяет уравнение ,

 где p, q – одного знака.

Сечение плоскостью х = 0 дает параболу y2 = 2pz

Сечение плоскостью z = h дает эллипсы ,

где 2ph > 0 , 2qh > 0 .

Параболоид гиперболический определяет уравнение ,

где p, q – одного знака.

Сечение плоскостью у = 0 дает параболу х2 = 2pz

Сечение плоскостью x = h дает параболы  

Сечение плоскостью z = h дает гиперболы

Понятие градиента. Свойства градиента (3 свойствадокказать)

О. Вектор grad U(x,y,z)=(du/dx)|m0*i+(du/dy)|m0*j+(du/dz)|m0*k,( где i,j,k – орты осей координат) называется градиентом U=U(x,y,z ) в M0(x,y,z).

grad U(x,y,z)= =(du/dx;du/dy;du/dz)

Свойства:

1)Производная по направлению S от функции U(x,y,z) в точке M равна проекции градиента в точке М по направлению S.

Док-во

Обозначить через S0 единичный вектор вдоль оси S, тогда

S0=cosa*I+cosb*j +cosg*k; du/ds=(gradU, S0); (gradU, S0)=|gadU|*|s|*cos(gradU^S0)=Прs0gradU =du/ds

Замечание:если U(x,y,z)-const-повер-т уровня, то вектор grad U = du/dx;du/dy;du/dz будет задаватся координатами вектора нормали(grad является вектором нормали в т.М к пов-ти уровня)

2)Производная в данной точки по направлению S имеет наибольшее значение, если направление S совпадает с направлением градиенты. Это наибольшее знач. Совпадает с модулем градиенты.

Док-во

Du/ds=|gradU|*cosφ, φ=(); max du/ds|φ=0 =|gradU|

3)Производная по направлению вектора касательного к поверхности уровня=0.

Док-во

  U(x,y,z)=C; du/ds=|gradU|* cosφ, φ=π/2, следовательно du/ds=0;

Потенциальное поле, его свойства. Условие потенциальности. Нахождение потенциала. Соленоидальное поле, его свойства и строение. Поле ротора Абсолютная и условная сходимость ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: почленное дифференцирование и интегрирование.
Интегрирование функций нескольких переменных