Векторный анализ. Поверхностные интегралы Скалярное поле и его характеристики Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Числовые и функциональны ряды. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости.

Преобразования плоских областей.

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Имеем плоскость с прямоугольной системой координат хОу и систему непрерывных функций

u = u(x,y)

v = v(x,y) ( 6 )

Для каждой точке плоскости (xi,yi) получаем два числа (ui,vi) , которые можно понимать как координаты другой точки. Выделим в  xOy область D , ограниченную замкнутым контуром ¶D. Тогда, уравнения ( 1 ) относят точкам области D множество точек (ui,vi). Пусть такое множество образует на плоскости область D*, ограниченную замкнутым контуром ¶D*. Каждой точке из D отвечает своя точка из D* и ни одна из них не пропущена. В этом случае систему ( 1 ) можно однозначно разрешить относительно х и у

x = x(u,v)

 y = y(u,v) ( 7 )

и переменные u, v теперь играют роль новых координат. Прямые линии x = const, y = const наз. координатными в системе хОу , тогда искривленные линии u = const , v = const будут координатными в криволинейной системе uOv.

Таким образом, между областями D и D* устанавливается взаимно – однозначное соответствие. Уравнения  ( 1 ) осуществляют преобразование области D в область D*, а уравнения ( 2 ) дают обратное преобразование. Области D и D* могут иметь разную форму и разные площади.

Двойной интеграл.

 В интегральной сумме двойного интеграла имеем элементы площади dxdy. В системе uOv ему будут соответствовать элементы площади  |J| dudv , где коэффициент искажения плоскости J (якобин) определяется формулой

| J | =  ( 8 )

После перехода к новой системе координат имеем

f(x,y) dx dy = f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv ( 9 )

В полярной системе координат переменные r , j имеют наглядный геометрический смысл – длина радиус-вектора и полярный угол. Координатную сетку образуют выходящие из точки лучи и концентрические окружности.

  ( 10 )

Обратное преобразование : r =

j = arc tg (y/x) .

Вычислим якобиан перехода к полярной системе координат

J =  = r ( 11 )

Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x2 + y2 .

D – круг радиуса Rf(x,y) dxdy = ( 12 )

D – круговой сектор f(x,y) dx dy = 

 

D – криволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением

r = r(j ) , 

f(x,y) dx dy =  ( 13 )

D – криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями

r = r1( j ) , r = r2( j ) ,

 f(x,y) dx dy =  ( 14 )

Пр. 1 Вычислить площадь круга.  S =dxdy ==j r2/2= pR2

Пр. 2 Вычислить площадь D , если ¶D : y = x , y = 0 , x = 1 . 

Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

 х = 1 Þ r cos j = 1 Þ r = 1 / cos j .

Углы сектора определяем из чертежа : 0 £ j £ p/4

S =dxdy==½tgj|0/4= ½

Пр. 3  Вычислить площадь леминискаты (x2 + y2)2 = 2a2 (x2 – y2) .

Линия симметрична относительно осей, т.к. уравнение не меняется при замене x ® - x , y ® - y , пересекает ось Ох при

 х = ±а и проходит через начало координат.  S = 4dxdy . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение : (r2cos2j + r2sin2j)2 = 2a2(r2cos2j - r2sin2j) Þ

Þ r2 = 2a2 cos 2j Þ r = a .

Углы сектора получаем из условий: r = а Þ j1 = 0 ; r = a  = 0 Þ j2 = p/4

S = 4= 4a2 = 2a2

Пр. 4 Вычислить площадь D , если ¶D : (x2 + y2)2 = 2a x3

Линия симметрична относительно оси Ох, т.к. уравнение не меняется при замене y ® - y, пересекает ось Ох при x = 0,

 х = 2а и х ³ 0. S = 2dxdy. Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение: r =2a cos3 j .Углы сектора получаем из условия: r = 2a cos3j = 0 Þ j = ± p/2

S = 2= 4а2  = 5/8 p а2

Понятие производной по направлению (вывод)

Рассмотрим в области D функцию U=U(x,y,z) и (.) M(x,y,z). Проведем из М вектор S, направляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg, где a,b,g-соотв-ие углы. На векторе S на расстоянии ∆S от его начала рассмотрим (.) М1(x+∆x, y+∆y, z+∆z). Таким образом ∆s=. Будем предполагать, что функция U(x,y,z) непрерывна имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. Полное приращение функции представим в виде: ∆U= (1), где Е1, Е2,Е3 – стремятся к 0, при ∆s→0. Разделим все части равенства (1) на ∆s: ∆U/∆s= (2). Очевидно, что , , . Следовательно, равенство (2) можно переписать так: =(3).

Предел отношения при ∆s→0 называют производной от функции U=u(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора S и обозначается  т.е: =таким образом, переходя к пределу в равенстве (3) получим:

= (5). Из формулы (5) следует, что зная частные производные, легко найти производную по любому направлению S.

Замечание: Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению.

Потенциальное поле, его свойства. Условие потенциальности. Нахождение потенциала. Соленоидальное поле, его свойства и строение. Поле ротора Абсолютная и условная сходимость ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: почленное дифференцирование и интегрирование.
Интегрирование функций нескольких переменных