Векторный анализ. Поверхностные интегралы Скалярное поле и его характеристики Интегрирование функций нескольких переменных Определители и матрицы

Типовой расчет по математике Векторный анализ

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

Теорема о среднем. f(x,y) dx dy = f() S

Двойной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение площади области интегрирования S на значение функции f() в некоторой точке, т.к. для любого цилиндрического бруса с искривленным верхом можно построить брус постоянной высоты, но с таким же основанием S и объемом V , т.е. f() = V/S. Точка с координатами () всегда существует в области D.

 

Вычисление интегралов.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a  x  b , c  y  d ), тогда

f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy ( 3 )

При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2.  D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a   x  b , y1(x) yy2(x) )

 Это область правильная в направлении Оу

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx ( 4 )

3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c  y  d , x1(y)xx2(y) )

Это область правильная в направлении Оx

  f(x,y) dx dy = {f(x,y) dx } dy ( 5 )

4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

 

Пр. J = xy dx dy , где D ограничена кривыми: y = ,  y = x2 

Решение: Строим графики двух парабол. Точки их пересечения находим из решения системы этих двух уравнений : =х2  (0; 0) , (1; 1). D - правильная в обоих направлениях. Выберем пределы интегрирования : 0  x  1 ; x2  y  , тогда

J = dxxy dy , Jв = y dy = ½ (x – x4)

J = ½ (x2 – x5) dx = ½ (x3/3 – x6/6) |01 = 1/12

Основные топологические понятия: замкнутая и открытая область, расстояние между точками, связная и несвязная область и т.д.(×)

Определение: Множество всех упорядоченных наборов (x1,x2,…,xn) действительных чисел x1,x2,…,xn – называется n-мерным арифметическим точечным пространством и обозначается R. А его элементы называются точками пространства R.

Числа x1,x2,…,xn – называются координатами токи (x1,x2,…,xn). Обозначают прописными буквами латинского алфавита M(x1,x2,…,xn)

Расстоянием ρ(M’,M’’) между двумя точками M’(x1,x2,…,xn) и M’’(x1’,x2’,…,xn’) n- мерного пространства называется число:

Геометрическое место точек P, координаты которого удовлетворяют z=f(x,y) называется графиком функции 2-х переменных.

ε - окрестность т.  называется множество точек, отстоящих от точки M0 на расстояние меньше чем ε  

Проколотая окрестность. ε -окрестность т. M0.

Точка  называется внутренней точкой множества , если она принадлежит множеству D вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка называется граничной точкой множества D, если в любой её окрестности найдутся точки принадлежащие D, и не принадлежащие D.

Совокупность всех граничных точек называется границей множества D.

Точка  называется внешней точкой множества , если E существует окрестность т. M0 в которой нет точек множества D.

Множество D точек пространства  называется открытым, если все его точки – внутренние.

Точка  называется предельной точкой множества D, если существует последовательность т.  такая, что   (Mn сходится к т. M0)

Множество D называется замкнутым, если оно содержит все граничные точки.

Множество D называется связным, если любые две точки M и B можно соединить ломаной, целиком лежащей в этом множестве.

Открытое связное множество называется областью

Множество D – называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором n-мерном шаре, т. е.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Интегрирование функций нескольких переменных